Math 101 Revision - Lecture 11

[fardell24]

|z1 + z2|, |z1| + |z2| are both non-negative number so we just need to prove |z1 + z2| ≤ (|z1| + |z2|)
Now, |z1 + z2| - (|z1| + |z2|)2
______
= (z1 + z2)( z1 + z2) – (|z1|2 + |z2|2 + z|z1z1|)
__ __
= (z1 + z2)(z1 + zz) – (z1 zz + z1 zz +z)
_ _ _ _ _ _
= z1z1 + z1z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 + z2 – (z1 z1 + z2 z2 + z|z1 z2|)
_ _
= z1 z2 + z2 z1 - z|z1 z2|
Now ζ = z1 z2 is a complex number and put = ζ x + iy
_
We have z1 z2 = ζ
_ _____
_
z1 z2 = (z1 z2) = ζ
_____
| z1 z2| = √(z1 z2) (z1 z2)
_ _
= √(z1 z2) (z2 z1)

_ _
Ie |z1 + z2|2 – (|zz + zz|)2 = ζ + ζ - z√ ζ ζ
= (x + iy) + (x – iy) - z√(x2 + y2)
= z[x - √(x2 + y2)] ≤ 0
Therefore |z1 + z2|2 ≤ (|z1| + |z2|)2